数学中幂是如何定义的呢？

数学中幂是如何定义的呢？

对于那些冗长重复的东西, 数学家总是希望发明一些符号来简写它. 例如3+3+3+3可以简写为乘法3×4.

同样对于3×3×3×3, 我们也希望简写它. 但这一次数学家没有发明新符号, 而是利用了数字周围的空间. 一个数字a周围有4个角,可以利用这些角来表示特殊意义. 数学家选择右上角来代表一个数的重复连乘.

对于4个3相乘, 有效的信息只有4和3. 存在两种可能的表示: 和.该选择哪一种呢？不妨把乘的次数逐渐降低, 就变成了和,和,和.最后一对是特殊情况, 表示一个3相乘, 也就是3. 如果我们选择前者, 省略特殊情况下的1,就能用一般兼容特殊, 达到一致性.

因此. 从左向右读作三的四次方. 反过来, 任给一个例子如, 它表示2×2×2×2×2还是5×5呢? 怎么才能不混淆? 同样使用读音来区分, 可以从左至右读作2的5次方, 我们只需要注意到读音中的"5次", 它表示乘的次数, 就不会混淆了.

几个相同的数连乘的运算叫做乘方, 我们熟悉的平方就是平面上的乘方,表示一个数乘两次,也叫二次方,多用于面积. 立方就是立体空间中的乘方, 表示一个数乘三次,也叫三次方,多用于体积.

在符号中, a叫底数(base), n叫指数(exponent). 整体的结果叫做幂(power). power也有能量的意思, 似乎预示着它有很强大的增长能力.

幂就是杨幂的幂.在古代汉语中它有桌布的意思. 你看幂字最上面那个东西, 像不像比桌子稍宽一点, 盖在桌子上的布. 测量这块布的大小, 就相当于桌布长度的平方, 因此幂被引申为平方. 后来明清时期的数学家,又把这个字进一步引申为其它次方.

乘方的优先级高于乘除. 如果底数是负数, 则乘方运算的结果取决于指数的奇偶.原因在于负负得正, 偶数个负号都被两两抵消了.

只要记住幂就是几个数字相乘的简写, 幂的运算就都搞定了.

同底数幂的乘法:

同底数幂的除法:

幂的乘方就像洋葱皮一样, 一层一层剥开即可:

底数不同指数相同:

指数为0:

结果的得出需要用到数学的构造思想,即把0写成3-3, 或者其它数字也可以. 然后利用前面幂的除法的性质计算.零次幂不应该理解为零个a相乘, 而是幂运算中一般对特殊的兼容, 保证了一致性. 下面的运算也是同样的道理.

指数为负:

若指数为简单分数,由于

似乎, 但如果把指数拆分为奇数

这里只能与a同号.所以取正号具有一般性, .

指数为复杂分数:

常用的底数有2和10. 底数为10, 就是我们熟悉的个,十,百,千,万等等.

当底数为2时,前10个结果为:

我们经常在电脑和手机的内存中见到这些数字,这是由于计算机领域使用二进制. 我们需要记住这些数字.

在计算数字时, 并不需要一个一个的去乘, 可以把指数按照2的幂次展开来快速计算, 例如

从3开始, 递归的进行平方

然后把展开式中有需要的乘起来即可.