Simone如何理解量子霍尔效应？
的有关信息介绍如下：
嘻嘻嘻，这么久的提问了呀，希望你已经搞懂了吧。
首先我们先介绍一下实验上观测到的量子霍尔效应是什么样的吧：
主要有两个特点：1. xy方向的电阻是量子化的，出现了平台；2. xx方向的电阻在对应xy方向的平台的时候是0对应台阶转变的时候很大。
我们的实验是这样的：
在一个二维电子气里面（也就是说电子可以自由地在xy的平面内跑但是在z方向是受限制的），我们加一个z方向的磁场，我在x方向通一个电流（也就是图中的1-4方向，注意是电流！！！！），在y方向可以测电压（也就是图中的3-5端之间的电压差），我们使用的是六端法的测量方式，为什么使用六端法其实是有原因的，这里就不讲了。
经典物理里面，电子在磁场下会做圆周运动，像这样：
在考虑量子力学的时候其实很多经典图像是可以帮助我们理解的，我们解薛定谔方程得到的结果与此类似，电子的能级就是这个在磁场下的回旋：
其中那个 就是回旋频率（嘻嘻嘻，知乎打公式还蛮好用）。也就是说加个磁场的作用就是把原来二维电子气的抛物线型的能带结果变成了量子化的朗道能级，像这样：
其中每一个朗道能级都有很多个简并度，就是说这个细细的一条线上其实有很多个态，可以放很多个电子，但是事实并不是这样简单的，在平面内会有杂质，也就是会有电势的高低起伏，像这样：
那原来那些简并的态们，也由于有杂质的缘故不再简并，我们的能带关系变成了这样：
画出来长这样：
变宽了有没有？放大了看长这样：
中间那个叫extended state，边上那个灰的叫localized state。为啥是这样的捏，你看啊，那些杂质造成的作用就相当于是把在电势上原来一马平川的平地变成了有坑和山的山地，有坑的地方当然能量低，有山的能量当然能量低。那为什么灰色的就localize了呢，这里你先接受一个推公式推出来的结论：
看不懂没关系，这个式子翻译过来就是，电子的速度是沿着等势线的方向的，那你理解了，对于坑来说，等势线是个环，电子绕着它转自然是转不出去的，就被局域住了，对于山来说，等势线也是个环，电子围着它转自然也被局域住了，只有在中间的部分，才是延伸出去的态。
好了，铺垫完了。。。
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我们先考虑电子满带填充的情况，也就是电子刚刚好填完第n个朗道能级的情况，这时，对第n个朗道能级做考虑，它的导电效果就是这个能级的每一个电子的导电效果的叠加：
上面这一堆翻译过来就是，如果有一个电流 流过x的方向，那么在y方向会积累一个电压 n , 也就是说每个能级的电导是 ,那么n个填充的朗道能级的电导就是n* 。这就解释了量子化电导（或者电阻）的由来，这个我们再从图像上理解一下就是这样的：
在y方向其实是有很强的限制势的，所以y方向的朗道能级其实到了边边的时候是会弯的，弯成这样：
那你看到了，其实体态是不导电的，就是边边那些边缘态在导电，真相只有一个：每个朗道能级的边缘态通道的电导是 ，费米面填满了几个朗道能级就有几个通道在导电。这就和我们的经典图像对应上了，经典图像长这样：
好了，下面该解释平台了，sigh。。。
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从上面也可以看出，边缘态是一个单向通道，没有背散射的，而体态是绝缘的，所以说对应着量子化电导的地方xx方向的电阻和电导都是0（这个是各向异性电导的矩阵，不是大家通常以为的电导和电阻互为倒数）。当你接着往上面填充电子的时候，先填充的是localized states，它们是不会导电的，对x或者y方向的电阻都没有贡献，所以出现了平台，当填充到extended state的时候，它们把上下两个边缘态连接起来（也就是上图中的蓝色和红色），使得原本单向的通道不再单向，出现了背散射，这时候xx方向的电阻自然就不为0了，同时边缘态受到破坏（？），所以就霍尔电导也不再量子化，知道填充满这个能级，跳上下一个台阶，所以你也明白了为啥对应霍尔电导台阶的地方xx方向电阻不为0。
（我前面没注意区分电导和电导率的概念，对霍尔电导来说是一样的，但是对xx方向是不一样的，不要在意这些细节）
这个图像非常像渗透这个过程，你可以把朗道能级看成是一个空的海，慢慢往里面灌水，先填坑再漫山，而导通之处就是边缘的海岸线，这个图像长这样：
这个图像非常非常之正确，因为在实验上确实观察到了，实验结果长这样：
这是用STM扫描二维电子气得到的图像，红色的部分就是海岸线啦。
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（抱歉我现在上不了google学术，插参考文献有问题，手动输入）以上参考了：
上面的理解并不涉及到拓扑的东西，如果要从拓扑的角度来理解的话，思路大概是从Kubo formula看出来可以把电导写成是贝里曲率的积分的形式，然后argue一下这个积分就是第一陈数，必须是个整数，所以电导就量子化了。不过嘛，我们做实验的才不管那么多呢！（^ ^)
回答里面的公式和图片都是截图来的，知乎自动加了这个水印，我不知道怎么去掉。
