薛定谔方程是什么意思？

薛定谔方程是什么意思？

一. 幺正演化, 绘景和正则方程

其实薛定谔方程说了一件很简单的事情, 就是幺正演化算符是薛定谔方程的解:

,

这样的话对于一般情况下的不含时哈密顿量来说, , 则在薛定谔绘景下的态矢量的演化为. 不含时算符就没有演化. 同时对于态矢量来说 也满足薛定谔方程:

从海森堡绘景来看, 量子态的矢量是不演化的, 但是不含时算符是有演化的:, 同时算符的本征态满足「 反薛定谔」方程:

对于海森堡绘景, 可以写出一个非常漂亮的表达式:

相应的经典力学中有哈密顿正则方程

这表明经典力学的泊松括号对应着量子力学的对易算符.

总而言之, 薛定谔方程描述的是含时演化.

考虑坐标表象下的量子态, 就是波函数:, 相应的薛定谔方程中的哈密顿量也可以换成坐标表象下的形式:

二. WKB 近似, Hamilton - Jacobi 方程和作用量

如果从 WKB 近似(就是所谓半经典近似)的角度来看, 薛定谔方程中的波函数(的相位)的经典极限是经典哈密顿作用量, 也就是经典拉格朗日量对时间的积分.

考虑波函数相位按照展开, 不妨设:

将上述 WKB 波函数代入薛定谔方程, 得到:

这样再将展开的相位函数代入上式, 按照的幂次得到一阶近似相位解为:

这样考虑了含时薛定谔方程波函数的相位为:

熟悉经典力学的朋友应该很容易看出来这就是经典力学中的作用量:

如果再往后考虑一项的话, 就会产生波函数振幅的变化了.

哈密顿雅可比方程

可以看成薛定谔方程的一种经典近似.

三. 路径积分与作用量

此外还可以从路径积分的角度体会经典力学和量子力学的关系.

接着从波函数的角度考虑问题. 如果在初始时有波函数, 已知哈密顿量, 如何解出系统在任意时刻的波函数? 可以将波函数在哈密顿量本征态上分解, 然后再用幺正演化:

则显然式中出现了一个因子正好表示了波函数如何演化:

这就是所谓薛定谔方程的传播子. 在海森堡绘景下也可以紧凑的写成:

事实上, 经过比较繁复的计算可以证明, 传播子可以写成如下的形式:

一般可以简写成:

这个式子也被称为路径积分, 将经典拉格朗日量, 经典作用量和量子力学联系了起来.

REF:

J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics

D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics