对数和指数的区别是什么？

对数和指数的区别是什么？

第五章内容小结（数学学习 040）

1. 到目前为止，“加”和“乘”在我们数学学习旅程中非常重要。鉴于此，我们根据函数与这些“加”与“乘”运算的互动关系，定义了四种函数，即加加组合函数、加乘组合函数、乘加组合函数、以及乘乘组合函数。

如果分别用 A 表示“加”（Addition，首字母为 A ），用 M 表示“乘”（multiplication，首字母为 M ），这四种组合可以定义为任何能：

(1) 将 A 转换为 A；

(2) 将 A 转换为 M；

(3) 将 M 转换为 A；

(4) 将 M 转换为 M 的函数。

2. 我们逗弄了一下 AA 型函数，发现它的所有成员都可以表示为

f(x) = cx

其中 c 是某个常数。

3. 我们逗弄了一下 AM 型函数，发现它的所有成员都可以表示为

f(x) = cx

其中 c 是某个数。

不仅如此。

我们还发现这种函数中，有一个函数具有惊人的，极其特殊的性质，即

它是自身的导数。

结合这些事实我们发现必然存在某个极其特殊的数 e ，使得 ex 是其自身的导数。

使用这种函数乘以常数得到的函数，也都是其导数也是其自身。

但我们发现只有这个函数 f(x)= ex 既是其导数为其本身，同时也是 AM 型函数的成员。

4. 我们逗弄了 MA 型函数，发现其每个成员都有一个 AM 型函数与之对应。

也就是说，对每一台 AM 型函数

fc(x)=cx

总有一个 MA 函数

gc(x）对所有 x 都会产生与之相反的作用，即

gc(fc(x)) = x

fc(gc(x)) = x

但我们不知道 MA 型函数“长什么样”（也就是说，不知道怎么用我们知道的东西来描述它们）。

5. 我们发现极其特殊的数 e 的两个不同的表达式：

从这两个表达式都可以得出 e 约等于 2. 71828182…

6. 然后我们开始逗弄 MA 型函数（用课本上的行话说就是“对数”)。

我们选择将这种机器记为 qc(x)，因为它们的作用与“幂函数”pc(x) = cx 相反，而 p 反过来就像是 q 。

7. 根据我们对 MA 型函数的发现，我们推导出了在数学课上听过的各种“对数性质”。

同时，我们还发现所有 MA 型函数，相互之间都可以通过乘以常数得到，因此我们只需选出自己最喜欢的那个函数就可以了，其他的都可以忽略。

我们选择了 qe(x) ，不动之物 ex 的反面。

去掉巳经多余的下标后，我们称它为 q(x) 。这其实就是课本上的 ln(x) 。“ln”，或许就是“ natural logarithm ”的缩写呢？

8. 我们用两种不同的方式求出了 ln(x) 的导数。用两种方式都得到了：

ln(x) = 1/x

同第四章中的三角函数 sin(x) 与 cos(x) 一样，我们在找出 ln(x) 这种加乘函数表达式之前，就确定了其导数。

9. 我们尝试将泰勒级数应用于 ln(x) ，结果发现它在 0 附近的表现不好，

因此我们将它平移了一格，研究机器 ln(x+1) 。这样做之后，我们发现

ln(x+l) = x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + ……

这让我们得以将“自然对数” ln(x) 视为无穷加乘函数，也就是通用函数形式。

不过我们不知道这个表达式是不是对所有 x 都有效。

10. 然后我们发现 MM 型函数的成员都可以表示为

f(x) = xc

其中 c 是某个常数。