Simone什么是黎曼积分和勒贝格积分？两者区别是什么？
的有关信息介绍如下：
现在黎曼积分的教学法是错误的，走了弯路而制造了不必要的麻烦。
实际上只有一种积分，即测度论，勒贝格积分等价于测度论。
从历史看，首先牛顿和莱布尼茨发明导数，并用反导数计算面积。之后黎曼给出了面积的独立于导数的定义，即黎曼积分，并由此“严格”证明了面积可以由反导数计算。再后勒贝格推广了黎曼积分，即测度论，使得以前许多黎曼不可积的函数变得可积，这种做法只是改变了积分的观念，并不改变积分值。
由于历史原因，现在的标准是先教（历史上先出现的）黎曼积分，然后再教（历史上后出现的）勒贝格积分。但从数学自身的逻辑，应该回到积分的本源，即牛顿和莱布尼茨算过的面积，而面积实际上就是测度。
知乎此，积分的正确教法是直接上面积（即测度论），出发点不是黎曼和，而是面积的公理：
定义函数在区间上的积分就是函数图和实轴之间（带正负号的）面积（不是黎曼和），然后根据三条公理，就可以马上证明微积分基本定理：在函数的连续点，积分的导数就是函数值。
细节见第三章：http://www.math.ust.hk/~mamyan/ma1023/lecture.pdf
这个做法的好处
