Simone一般一元五次方程没有根式解的秘密究竟在哪里？花费人类近三百年.?
的有关信息介绍如下：
我觉得我们应该重新思考“解方程”这个问题。
看看二次方程 ，这个方程我想大家再熟悉不过了，解无非就是
可让我们仔细思考一下，这两个“数”究竟是什么？我们真的能区分这两个数吗？
请注意，现在我们应该忘记“大小”，忘记“距离”，我们眼中只有加、减、乘、除这四个运算，这个时候，由“0”和“1”，我们能生成的就是全体有理数 ，用代数的语言来描述，我们得到了特征为0的素域。
而 在 中无解，即我们找不到一个有理数，代入这个方程，使得这个方程的等号成立，事实上这就是我们初中老师经常让我们证的为什么 是一个无理数。
那这个时候我们希望能让这个方程有“解”，实际上就是放了一个“东西”到 里面，产生了一个更大的域，把这个域记为 ，然而，事实上，这里的“ ”只是一个符号，我们可以证明 有两个不相等的根，我们只是让其中一个根为 ，另一个根已然在 中，也就是 ， 的加法逆元。
其实， 也是一样，我们加入了 生成一个域，记为 ，让这个方程有根，但 指的是这个方程两个根中的的哪个根，我们并不清楚。而之所以虚数刚开始不为人们所接受，正是因为我们天然地往有理数域上加了序结构，这种“数可以比大小”的观念深入人们的骨髓，从而 可以有根这件事会让人很不适应。然而，仅就代数而言， 可以有根和 可以有根是同等层面的事情。
高次方程也是一样，可以说，解方程，与其说是在“找”方程的解，不如说是我们把方程的解记成一个符号加进了系数域中，生成一个更大的域的这么一个过程，也就是“域扩张”（真正的域扩张的定义复杂很多，简单而言可以这么理解）。而把一个有理系数多项式方程的所有根加进有理数域的过程实际上就是在生成有理数域的一个分裂域。
再回到“开根号”这个问题，事实上，这根本不能称为一种运算，或者说一个映射，因为它不满足映射的定义（同一个数可以映到不同的两个数里），我们只是在附加一定条件的基础上，让它变成了一个映射（比如引入序结构，引入复数的辐角的序），但这些条件都不是“代数”的，这一点请牢记，从而在代数层面上，根号不具备任何实际意义。
那为什么我们会一直关心有理数域上的一元多项式方程是否能根式求解这种问题呢？恰恰是因为历史上人们误以为仅用有理数、“根号”（加了序上的限制从而有意义）、加减乘除四则运算可以表示所有的代数数，因而热衷于去找方程的“求根公式”。但事实上，这做不到。Galois最微不足道的贡献就是证明了这做不到，仅此而已。
Galois真正的贡献在于，他找到了一个方程在基域F上的分裂域E，或者我们就可以当成有理数域的分裂域，与“根的置换”之间的关系，也就是说“我们到底可以在多大程度上区分方程的根”，例如
与
这两个方程都没有有理根，但前一个方程的三个根与有理数的关系更疏远，后一个方程的三个根与有理数的关系更密切，凭什么这么说呢？
关于第一个方程，我们首先设其中一个根为 ，然后可以证明，这个方程除去 之外的两个根依旧不在 中，从而我们不得不再扩一次，得到 （这个严格来讲需要证明），此时另一个根我们可以很轻松地写出来，就是 。再回忆一下整个过程，第一，我们并不清楚第一次选的是这三个根里的哪个根；第二，我们并不清楚再选完这三个根的一个根之后，我们接下来选的是哪个根，从而这里的 这个有序组，有六种可能的选择。再换一个方式来描述，这三个根不论怎么交换位置，我们都无法分清楚，而三个根的排列一共有六种。（此处需要预先证明这两个方程没有重根，是可分的）
关于第二个方程，我们也设其中一个根为 ，然后可以证明， 也是这个方程的根，并且它们两两不等（否则会有矛盾），从而它的分裂域就是 。再回忆一下整个过程，我们虽然刚开始不知道选的是三个根里的哪个根，但是我们完全清楚选完了第一个根之后，另外两个根长啥样，从而只有三种选择。换一个方式描述也就是，这三个根无法随意交换位置，只有其中三种方式我们是“认可”的，另外三种是不认可的。这个地方我说的比较抽象，事实上要具体解释，还是得依赖Galois群的严格定义，但是找到这种感觉相当重要！
简单介绍一下Galois群的定义，事实上，它就是那个分裂域E，在保证F的元素均不改变的情况下，自己到自己的全体保持所有域运算的双射（自同构）的全体构成的一个集合 ，可以证明，这个集合对映射的复合构成一个群。可以说这里的“群”才是目前真正群论的原型，因为群的概念是Galois提出的，Galois最开始提出群就是为了描述这里的保F自同构。（当时也没有真正意义上域的概念，我们就可以当成 ）刚好借此，我来谈一谈我对群的一种新的看法。给定一个集合S，S到自己的双射有很多，其中双射最明显的三个特征就是：1.它们可以做“复合”运算，得到的还是双射；2.这种“复合”满足结合律；3.存在一个很特殊的双射“ ”，它把每个元素映成自己，并且对每个双射f，无论左复合还是右复合 都还是f，并且可以证明是唯一的；4.每个双射f都存在一个逆映射，即左复合f与右复合f均为 的映射，这也可以证明对每个f是唯一的。正是由于双射满足这些特征，因而如今的我们将一个附带上满足如上这些性质的运算的集合称为了一个群（group）。
那我们是凭借什么来进行判断这两个三次方程的区别的呢？从表面上来看，它们最大的不同就是它们的“系数”有区别，而系数对根之间的关系的影响体现在哪里呢？韦达定理！可以说，不管是求分裂域，还是求Galois群，本质上都需要依靠韦达定理来提供信息，这是最根本的一件事情。
Galois之所以伟大，是因为他界定了代数到底是研究什么的，不是研究什么方程解长什么样，能不能用根号表示这种问题的，是研究一个集合，在附带上一个满足一些条件的运算变为一个代数结构之后，这个代数结构该如何进行处理，怎么分类，以及可以用来研究什么具体的数学问题，这也正是现代代数学干的事情。可以说，Galois就算被称为现代代数学之父也不为过！而为什么我们要抽象出代数结构呢？也很简单。我的老师曾经说过，“抽象是为了走向真正的具体”。就如这个问题，如果我们执着于“序”，虚数永远也不会有意义，把序抽离出来，只留下最基本的加减乘除，我们才能够领会到，所谓“解方程”究竟是什么意思，我们才能体会什么叫无法区分 ，什么叫 可以有根和 可以有根是同等层面的事情。
研究所有问题都是一样，一件事物或许自带许许多多的信息，但在解决关于它的一个问题的时候，我们并不总是要利用这件事物的全部信息，可能对解决问题有帮助的只是其中的一小部分。抓住我们需要的那一小部分，忽略掉其他东西，可能就是解决一个问题最难的地方。
