为什么应变是这样定义的？

为什么应变是这样定义的？

一、构型与变形梯度张量

物体在欧几里得空间内占据空间，不同时刻占据的区域是不同的（即拥有不同的构型），如图所示，

为材料点，运动与变形后的为空间点；物体的运动和可以表示为.

二阶张量（tensor）可以理解为一种矢量(vector)空间的线性变换，即有.

定义二阶张量为，

对于任意一个变形,可在材料点处将变形进行Taylor级数展开，则有：

(当时)

则代表了的一阶近似，其误差为的高阶小量，比更快趋近于零。由于上式中是固定的，则是一个常值，表示一个均匀变形，写成微分形式，即：.

对于某一固定时刻的均匀变形，即有：

变形梯度张量将材料矢量映射为空间矢量。

举一个具体的例子，便于理解：

对于给定在时刻的运动：,如图所示：

变形梯度张量为一对称的正定张量，说明给定的变形是均匀的纯伸长变形。

其位移为：

再介绍一下正交张量，满足，,

说明正交张量对矢量长度以及矢量间的夹角都不产生影响。

正交张量的一个必要条件为,.

若，则表示旋转变换，若，则表示镜面反射变换。

以上都是基本背景。

二、应变的极分解

在弹性力学中，为什么应变考虑的是平方项呢？个人认为有以下两点原因：

1.直接计算位移向量和的长度时，必然涉及到开方，计算不方便

2.对于无限小变形下微元和，

故由无限小变形得出来的应变为：，这是在学弹性力学时大家所熟知的应变写法。

然而，由背景中所讲到的,直接代入,可得到应变的Lagrange描述（基于参考构型）

改写成位移张量描述即为

当考虑小变形时，位移是二阶无穷小项，可以略去，即可得到

应变张量

考虑变形梯度张量的极分解：,为旋转张量（见上），为右伸长张量

为正定对称张量，.

. 定义右张量为

总结：应变张量：

应变张量 （基于无限小位移）

Update：知乎改版以后粗体符号/bold识别不了，故全部去掉了，但所表达仍旧为张量形式。

Reference：

[1] Gurtin, M. E., et al. (2010). The Mechanics and Thermodynamics of Continua, Cambridge University Press.

[2] 康国政，蒋晗等(2015).连续介质力学，科学出版社.

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