Simone究竟怎么理解自由群？
的有关信息介绍如下：
详细参照5.自由群。
本文为Algebra Chapter 0第二章群初步 内容整理。
本章我们介绍群，我们观察到群成范畴(称为 ), 我们来研究这个范畴的一般性质:
在第三章中，我们将对环和模需要有类似程度的熟悉。对 的更面向对象的分析(例如, 著名的Sylow定理、复合级数(composition series)、或有限Abel群的分类的处理)推迟到第四章。
范畴: 范畴 由下面的组成:
记住这个原型，将对象视为“集合”，将态射视为“函数”。
这个例子应该使态射的定义属性看起来自然且易于记忆:
这确实是一个口头禅，但要记住这一切，只需想想集合的函数即可。
另一个要求是集合 无交除非 。
这是通常不会想到的，但同样适用于普通的函数集。也就是说，如果两个函是同一个函数，那么它们必然具有相同的源和相同的目标: 源和目标是函数集合的一部分。
同构(isomorphisms): 如果态射 在复合下有逆, 则称这个态射是一个同构。
自同构(automorphism): 范畴 的一个对象 的自同构是从 到它自身的同构。
也就是说: 。
群胚(groupoids): 在某些范畴中，每个态射都是同构的，那么这些范畴被称为群胚(groupoids)。
Joke 1.1: 定义: 群是具有单个对象的群胚胎。
这实际上是一个完全可行的定义，因为群胚已经被定义了(在例I.4.6中);
但大多数数学家会发现以这种方式引入群是荒谬的，或者他们至少会礼貌地对这样做的教学效果表示怀疑。为了赎罪，作者将立即解析这个定义，以展示它的真实含义。
如果 是群胚 的唯一对象, 因为 是群胚，因此就有:
并且这个集合携带了关于 的所有信息。我们称这个集合为 ， 注意这里的全胚记号 和集合 记号字体有所区别。
根据范畴的定义，我们可知:
这就是群: 一个带有复合法则的、满足几个关键公理的集合 ，这几个公理即结合性、存在单位元和存在逆元。
现在是官方定义。设 是一个非空集，它带有二元运算，即“乘法”映射:
符号为
如果运算比较明确的话，也可以简单的写成 。
细心的读者可能会认为，我们应该按照我们为范畴所用的风格来写 ，但这是常见的惯例。
定义1.2: 集合 ，带有二元运算 (简写为 , 或者在运算比较明确的时候，简写为 )，如果满足下面条件则称其为群:
i) 运算 满足结合律(associative): ;
ii) 对运算 存在单位元 : ;
iii) 中的每个元素关于运算 都存在逆元: 。
例1.3: 因为我们在群的定义中明确要求 非空，因此构造一个群的最经济的方式是令 , 只有一个元素。
在这种情况下，只有一个函数 , 因此 上只有一种可能的二元运算，定义为 三个公理很容易验证在该例中成立，因此 配备了一个独特的群结构。
平凡群(trivial group): 只有单位元的群我们称为平凡群。纯粹主义者应该称任何这样的群为平凡群，因为每个单例都会产生一个这样的群。
例1.4: 下面是一些群的例子，我们可以参考练习1.2， 仔细检查公理是否满足。
这些都是群的例子，它们本身都非常有趣，但是这些例子并没有捕捉到任何知觉层面上"群到底应该是什么", 因为它们非常特别。比如说，这些例子都是遵循交换律的。
例1.5: 不可交换的典型例子，就是 的可逆实矩阵群。
前面的章节我们暂时先不谈矩阵，详细的会在第六章介绍。我们这里只是会偶尔借用一两个矩阵来说明下问题。
下面我们看看实矩阵，其中 ,
普通的矩阵乘法运算
条件 保证了矩阵可逆。那么我们自然会问逆为啥? 例如:
这个 的可逆矩阵群不可交换。
可逆 实矩阵群表示为 。
从群胚的角度来看，单位元 将表示为 。在理解群的时候，在符号中省略 ，并使用不同的符号而不用 来表示这个元素并不罕见: 1,0是流行的替代品，具体取决于上下文。
在任何情况下，对于给定的群 ，该元素都是唯一的。也就是说， 中没有其他元素可以作为单位元:
命题1.6: 如果 是群 的单位元，那么 。
顺便说一句，这使得在示例I.3.8中的pointed sets成群: 每个群都有一个定义良好的可区分元素。
证: 首先 是单位元， 也是单位元，那么我们就可以有 。 #
比较有趣的是，这里证明中，我们只用到了 的左单位元和 的右单位元性。
命题1.7: 群元素的逆唯一:如果 都是 在群 中的逆元，那么有 。
证明: 这个实际上可以作为I.4.2命题的推论，将群 视为具有单个对象的群胚的同构态射集合。可以自行尝试用同样的手法，小心隐藏任何对态射的引用。
这个命题就可以授权我们给群 的元素 逆取一个名字，通常我们表示为 。
还有一个概念就是顺序(Order), 关于群的运算，我们知道它满足结合律，这点需要特别慎重。
表示的意思是，运算 先作用到 ,然后将运算结果使用这个运算作用到 。(很多初学者感觉不以为然!!)
只有满足了结合律，我们才能有权利，将上面的表达式直接去掉括号，写成
这点要理解体会一下，因为我们最早接触的加法和乘法，自然满足了结合律和交换律，我们很少考虑这些运算律对于一个抽象运算代表着什么。但是我们前面已经举了矩阵的例子，一般情况下具有下面的不等式: 当然如果每个元素都是相同的(coincide), 那么我们就可以有关于幂的概念:
自然就可以有幂的性质:
群中消去律是成立的。
命题1.8: 设 为群，那么 :
这个命题之所以能成立，关键在于群公理中有一条要求，群中所有元素都有逆元。我们只需要利用两侧同时乘以对应元素的逆，然后利用运算的结合律即可得证。
说明一下: 如果不满足消去律，那么一定不成群。比如说实数集关于普通的乘法来说就不满足消去律:
当然原因主要在于 在实数集中关于普通乘法不存在逆元。如果我们把对于普通乘法，去掉这个0，它就成群了:
关于普通乘法成群。也就是非零实数集关于普通乘法运算成群。
群定义中没有出现的一个公理就是 交换律(commutativity):
iv) 运算 满足交换律:
两个元素可交换: 如果 , 则称两个元素 可交换。
因此交换群中任意两个元素可交换。
交换群是一个重要的对象: 它出现在好几个上下文中，特别是整数 环的模。交换群通常我们称为Abel群。
处理阿贝尔群时所使用的记号与处理群的标准记号略有不同。这样做是为了强调“ 模结构”，当阿贝尔群与其他运算共存时(这种情况我们将在后续章节中频繁遇到），这种记号很有帮助。
注意: 这里的 只是一个记号，不是代表的 。因为的确有可能两个元素都在群中，乘法就表示不同的意思了。
限定词abelian和记号 等等，通常用于某些标准情况下的交换群， 比如说环、模、向量空间等概念是通过适当地丰富一个交换群来定义的，然后为了方便起见，将其提升为Abelian。
在其他一些情况下，交换群自然产生，而不会触发Abel记号。比如说我们前面说的非负实数的乘法群就是交换群，但是它里边的运算是普通乘法，我们可以用 来表示，它的单位元记为1。 这些都是历史原因导致的符号系统，而不是逻辑原因导致的。
定义1.9: 群 的元素 ，如果对于某个正整数 满足 , 那么称这个元素 为有限阶。在这个情况下，阶 表示的是满足 的最小正整数 。如果 , 就表示元素 不具备有限阶。
通过定义，我们知道如果对某个正整数 , 则 。
引理1.10: 如果对某个正整数 , 那么 是 的因子(divisor)。
这个引理可以立即得到下面一个有用的结论，鼓励读者尽力记住这个结论。
推论1.11: 设 为一个有限阶元素，并设 , 那么
换句话说，有限阶元素阶的倍数次幂都得到单位元。
定义1.12: 群的阶: 群 作为集合，如果它的元素数量是有限的，那么该群为有限阶， 就是对应集合中元素的个数。如果 ，那么就说该群为无限群。
消去律可以推出 。对于 显然成立；如果群 为有限群，考虑元素 的 次幂
这些不可能都是不同的，因此
由消去律，两边同时右乘 就得到
也就证明了 。
我们很快将能够给出一个关于群的阶数与其元素阶数之间关系的更精确的陈述:
如果 并且 是有限的，那么 的阶数整除 的阶数。这是拉格朗日定理的直接结论；参见例8.15。
关于阶的另一个一般性注解, 元素的阶关于运算的行为并不总是可预测的:
如果有兴趣可以计算练习1.12和练习2.6来试试。
另一方面， 如果可交换，情况更受限。极端情况 , 很容易得到一个非常精确的陈述:
命题1.13: 设 是一个有限阶元素。那么 具有有限阶，实际上
其中 分别表示最小公倍数、最大公约数。
一般地，对于可交换元素来说有:
命题1.14: 如果 , 那么 整除 。
一般来说，即使 可交换，也无法对 有更多的了解(练习1.13）。但请参阅练习1.14了解一个重要的特例。
在I.4.1中，我们已经观察到每个范畴 的每个对象 都确定一个群，称为 , 也就是 的自同构群。
在某种程度上，很明显，每个群都是以这种方式出现的(参见练习1.1); 这一事实在更“有意义”的方面是正确的，当我们讨论群行为时，这一点将变得显而易见(第9章): 尤其是定理9.5和练习9.17。
在任何情况下，这一观察为读者提供了无数非常重要的例子:
定义2.1: 设 为集合。
对称群(symmetric group): 也叫置换群(group of permutations of A), 就是群 , 记为 。
对于集合 的置换群记作 。
这个术语很容易证明: 集合 的自同构是集合的同构，即从 到自身的双射；应用这种双射相当于对 的元素进行置换。这种运算可以被视为不改变它本身的 的变换，因此是一种“对称”变换。
群 非常巨大: 。例如 , 这远远大于可观测宇宙中基本粒子的估计数量。
潜在的混淆点: 各种约定在 中的运算编写方式上存在冲突。
从“自同构”的角度来看， 的元素是函数，应该是态射复合方式, 即 如果 ，那么 的“乘积”应该写成 ，并且作用如下:
但是群论中流行的符号风格将这个元素写成 ，显然颠倒了运算的顺序。
如果我们采用一种约定，函数名写在它作用的元素后面的惯例，那么一切都会得到一致的状态:
比如我们约定函数书写为 。
但是我们还是无法改变一个世纪以来的习惯，所以别无选择，只能遵守这两种习惯，并在任何时候仔细说明我们正在使用那种习惯。
对 群 较小的情况进行思考是非常有价值的练习。
是一个平凡的群； 由两种可能的排列组成:
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我们可以把这两个分别称为 ，分别代表恒等变换和翻转变换，具有下面的运算
在实践中，我们无法为每个置换群的每个不同元素都命一个新名字，因此必须开发一种更灵活的表示法。实际上有多种可能的选择。
我们这里用一个矩阵来表示，矩阵第一行显示索引 , 第二行显示在 作用后，第一行中对应索引应在的索引位置。
用这种方式来表示，我们的 可以表示为:
而在 中的元素可以表示为:
对于乘法，我们将采用上述合理但不是非常标准的约定，并使置换“向右”起作用: 例如，
说明: 上面左边表示的意思是，索引 , 连续经过两个置换运算 , 最右侧得到最终结果。连续两个置换，我们依次从左到右执行两个置换，第一次，索引 , 第二次置换， 。
类似的，
于是，就有: 因为等号两侧的置换对 的作用方式相同。我们可以自行验证一下下面的两个置换结果:
也就是，令
从上面的结论我们可以得到
这就证明了 中的运算不满足交换公理。因此 不是交换群。当然我们可能会立即意识到对于 都不是对称群。
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虽然交换律部成立，但是在 中却有一些非常有趣的关系。例如:
这就表明 的元素有1阶的(元素 ), 2阶的(元素 )，3阶的(元素 )。当然这些我们从上面的Cayley图也可以看出来(可视化群论里边的截图)。另外还有:
使用这些关系，我们可以看到各种各样的 的乘积 的结果，最终都可以简化为积 , 也就是说，最终只能是下面6个元素之一:
例如:
当然代数运算可以达到，我们利用Cayley图和乘法表也可以得到。有兴趣可以尝试一下。
另外一方面， 的6个元素都是不同的，这点我们可以根据消去律和阶考虑来验证。
例如，假设有 ， 那么由消去律就可得到 ，这显然是不可能的，因为 。
总结来说，上面的6个乘积就是 的所有的6个元素:
在上面的过程中，我们验证了:
可以被描述为由两个元素 生成的群，具有关系 。
更一般的，如果群 的每个元素都可以写成其子集 中元素的乘积或者其元素逆的乘积的话，那么这个子集 生成群 。我们在第六章和第八章再正式的介绍这两块内容: 生成元的概念和用生成元描述群的问题。
“对称性”是一种保持结构的变换。当然，这是当我们懒得严格定义相关范畴时，谈论自同构的一种松散方式。作为范畴对象的自同构，对称性自然会成群。
这个概念可以生动地形象化的一个背景是几何图形，比如平面中的多边形或空间中的多面体。相关范畴可以定义如下: 设对象是普通平面 的子集，设两个子集 之间的态射由平面的刚体运动组成，这些运动将 映射到 的子集。在这一点上，对这些概念的严格处理会过于分散注意力，所以我们会像偶尔一样，诉诸读者的直觉。
刚体运动(Rigid motions): 例如平移、旋转或关于线的反射等等。
从这个视角来说，平面子集的对称是映射它到自身上的刚体运动；它们很明显成群。
二面体群可以定义为正多边形的对称群。将多边形的中心放在原点(从而排除平移作为可能的对称性)，我们看到正n边形的二面体群由围绕原点的 的 个旋转和关于其中一个顶点穿过原点的线的n个反射组成。
因此，正n边形的二面体群是由2n个元素组成的，记这种群为 。 注意，有些地方用 来表示。
同样，考虑这些群的较小n的情形，是一项奇妙的练习。有一种简单的方法可以将二面体群和我们前面2.1中的对称群联系起来，从而捕捉到正多边形 的对称性由 的顶点的命运决定的事实。
例如，将等边三角形的顶点顺时针标记为 , 然后逆时针旋转 的角度将顶点 , 三角形的其他对称性都不会相同。
换句话来说，我们可以将顺时针旋转等边三角形 与下面的置换关联起来: 这样的标签定义了一个函数
更进一步，这个函数是单射，因为对称性是由它所包含的顶点的置换决定的。在我们稍后将掌握的更高级的语言中，我们说 (忠实地)作用于集合 。
很明显我们可以用多种方法做到这样，例如，我们可以用不同的方式标记顶点。然而，不管如何分配都将具有这样的性质，也就是 中的对称性复合对应于 中的置换复合。我们可以仔细研究 这些例子。
描述这种情况的一种简洁方法是，这些函数是(群)同态。由于 都由6个元素，并且上面给出的函数 是单射，因此也必然是满射。于是就得出 存在某双射同态，这些群是同构的。在接下来的几节中，我们将非常仔细的研究这些概念。
作为得到相同结论的另一种更抽象的方法，用 表示上述逆时针旋转，用 表示通过等边三角形中心和顶点3的线的反射:
连续反射两次得到恒等变换，连续旋转3次同样得到反射，因此
更进一步， 与 的对称性一致:
换句话说， 也是由元素 关于关系 生成的，这也就是前面所说的 中发现的规律。由于 和 允许在生成器和关系方面进行匹配描述(即匹配表示；参见§8.2），因此“当然”它们是同构的。
设 , 考虑 上下面定义的等价关系:
这称为共轭模 。前面例题I.1.3的偶数集合其实就是共轭模2。非常容易验证 , 它就是一个等价关系。
这个等价类集合通常记作 。我们这里选择使用记号 , 因为它不会和其他概念的符号混淆。用 来表示整数 模 的等价类，或者简单的记作 如果不会发生歧义的话。
我们很容易验证 只有 个元素组成，分别命名为
下面我们看看如何使用 上的群结构在 上诱导一个Abel群结构。称为诱导的群(induced group)。
1) 定义运算: 在 上定义 运算 对于这个运算的定义，我们需要验证其well-defined。注意上面定义中的等价类与具体代表元有关，我们需要证明这个加法运算与代表元的选择无关。
引理2.2: 如果 , 则 。
于是，我们在 上有了二元运算 。
2) 验证成群:
首先结合律直接从 继承过来:
单位元: 。
逆元: 。
交换律: 。
因此我们验证了 关于所定义的加法成群，而且是Abel群。
这个 以及 一起我们都称为循环群。群 一种常用的替代记号为 。当人们想使用“乘法”而不是“加法”符号时，尤其会采用这种方法；因此，我们可以说 是由一个元素 生成的，其关系为 。
循环群非常重要，我们将在后面的章节中再次讨论它们。目前，我们可以得到，元素
成群，在这种意义下，每个其他元素都可以由该元素的乘法获得。例如，如果 , 则
等价地，我们可以通过观察 中 的阶数为 来表达这一事实: 这意味着 乘以 一定都不同，因此它们必须填满 。
命题2.3: 中的 如果 , 则其阶为1, 更一般的
证明: 如果 , 那么 。如果 不能整除 , 观察到 , 应用命题1.13即得。 #
备注2.4: 作为一个结论， 的所有元素的阶都整除 , 也就是整除群的阶。换句话说，群中元素的阶是群阶的因子，这是任何有限群中元素阶的一般特点。
推论2.5: 类 生成 当且仅当 。
这个简单的结论非常重要。例如，如果 为素数，它就表明 中的每个非零类生成它。在任意情况下，这就允许我们构建更多有趣群的例子。我们可以检查或者回忆练习2.14中存在一个well-defined的 上的乘法，由下面定义给出
这个运算没有定义在 上的一个群结构: 的确，类 没有乘法逆。另一方面，对于任意正整数 由 表示的 的子集，是由 类组成的:
这个子集确实是well-defined:
如果 , 那么 。因此在 上定义的类性质与代表元的选择无关。
命题2.6: 乘法使 成群。
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例如， 在 中有乘法逆: 因此 ， 它的逆为 。
对于 正素数，群 具有 阶。后面我们还会详细介绍这种群。
群是范畴 的对象。在本节中我们定义该范畴的态射，并处理这些态射的简单性质。
前面我们已经知道，群是由两种不同类型的信息组成的: 集合 和它上面的运算
这两种信息满足特定的性质。对于两个群 , 群同态
首先是两个底层集合之间的一个函数，但是这个函数必须了解 上的运算 , 上的运算 。
这种最自然的要求是什么呢?
注意集合函数 确定了一个函数: 我们可以调用乘积的普适性来获得这个函数(参见例3.1），但由于我们处理的是集合，所以这里不需要花哨的语言——只需通过以下方式定义函数
存在一个组合所有这些映射的图:
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还有什么要求比要求这张图可交换更自然的呢?
定义3.1: 集合函数 定义了一个群同态如果上图可交换的话。
这是一种看似复杂的方式来表达简单的事情: 因为 都是集合函数，可交换性意思如下:
, 图中给出了两种方式浏览:
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这里我们两种运算都用 表示: 左侧在 中，右侧在 中。图的可交换性意思是我们必须在两种情况中得到相同的结果。因此，定义3.1可以改写为:
集合函数 如果
则为群同态。
换句话说， 是群同态如果它能保持结构。像往常一样，引入图表（如定义3.1）的原因是，这将使部分讨论更容易转移到其他类别。
如果上下文清楚，可以简单地写“同态”，省略限定词“群”。
可视化群论里边的解释
对于群 我们定义
为群同态 的集合。
如果 是群， 是两个群同态，很容易验证 是群同态:
从图表的角度来看，这相当于观察到外围的矩形:
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如果内部矩形可交换，那么外围也可交换。
对于任意 , 这就意味着
其中(1)成立因为 是同态，(2)成立是因为 是同态。
此外，很明显，复合是可结合的(因为它是针对集合函数的），恒等式函数 是群同态。因此， 确实是一个范畴。
细心的读者可能会提出异议: 群公理规定了恒等元 和“逆”的存在,也就是特定函数: 中的态射定义不应该跟踪这类数据吗？我们给出的定义只跟踪乘法映射 。
我们之所以能逃避这些，是因为保留m会自动保留 :
命题3.2: 设 为群同态，那么
用图的术语来说第二个断言等价于说下图表具有交换性:
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范畴 乍看起来好像一样:
给定一个群，我们可以“忘记”乘法的信息，只剩下一个集合；给定一个群同态，我们可以忘记它保留了乘法，只剩下一个集函数。表达这一事实的一种简洁方式是存在一个“函子(functor)” (实际上称为“健忘"functor）；稍后，我们将从第八章开始更广泛地讨论函子。
然而，这两范畴之间存在重要差异。例如，回想一下 有一个唯一的初始对象(即 )，这与最终对象(即单例)不同。还要记住，平凡群是由单个元素组成的群(例1.3）。
命题3.3: 平凡群在 中既是初始对象也是最终对象。
这就使得平凡群是范畴 中的零对象。
这里有一个相似之处: 有积；事实上，两个群 的积由底层集合的乘积 支持。
要看清这点，我们需要在 上定义一个乘法；这里的流行语是组件式的: 通过分别对每个组件执行运算来定义 中的运算。明确地定义
这个运算在 上定义了一个群结构: 运算可交换、单位元为 , 的逆元为 。我们很方便自行验证这些。群 称为群 的直积。
我们还注意到自然投影(在I.2.4中定义为集函数)是群同态:这再次从定义立即可得到。
命题3.4: 在按组件定义运算的情况下， 是 中的积。
余积又是什么呢？它们确实存在于 中，但它们的构建需要比我们现在更熟练地处理表示，并且本书的其余部分不会使用群的一般余积；因此，读者将不得不自己处理这些问题。一个重要的例子，请参见练习3.8；更多内容将出现在练习5.6和5.7中，因为自由群本身就是余积的特例。读者最终将在练习8.7中明确地制作任何两群的余积。现在，只要意识到在 (命题I.5.6)中作为余积工作的不相交并在 中不是一种选择: 不相交并上没有合理的群结构。 在 中的余积记为 ，称为 的自由积。
范畴 的 对象是Abel群，它的态射是群同态，在某种意义上对我们来说比范畴 更重要。正如我们马上看到的，在许多方面， 是比 更好的范畴。同样:
正如我们在恰当时机会看到的(命题III.5.3）， 是“交换环 上的模”的一般范畴的一个实例(对于 ）。与 不同，这些范畴是阿贝尔范畴，这使得它们表现得非常好。我们将在第九章学习关于阿贝尔范畴的一些内容。
这里有一个相当微妙的地方，这可能突显了语言的力量: 即使 是可交换的，乘积 (不一定)满足 中余积的普适性，即使它在 中满足。有关一个明确的例子，请参见练习3.6。
对任意两个群 ，集合 当然非空: 至少我们可以定义一个同态 , 通过将 中的每个元素发送给 。因此 是一个pointed set。
回忆一下，在 中，平凡群既是初始对象也是最终对象。那么就有有一个纯范畴的方式考虑这点: 因为 具有零对象 , 那么在 中就存在唯一的态射 它们的复合与上面提到的 的元素有所区别。我们称这种元素为平凡态射(trivial morphism)。
通过考虑§2中遇到的群，可以构造出更“有意义”的例子: 例如，§2.2中定义的函数 是同态。这些例子很可能都是群行为概念的实例。一般来说，群 对范畴 的对象 的“作用”是同态
群 作用于对象: 如果群 的元素以与复合兼容的方式确定了对象与其自身的同构，则称 作用于对象。
如果 , 这就意味着 的元素决定了集合 的特定排列。例如，等边三角形的对称性(即 的元素)决定了该三角形顶点的排列(即具有三个元素的集合的排列)，并且它们与复合兼容；这就是给出 同构的原因。我们说 作用于三角形的顶点集。
读者能且应该构造更多这种类型的例子。在后面章节中，我们将有更多关于群作用和其他代数实体的说明。
这里有一个不同风格的例子: 指数函数是从 到正实数群 的同态，以普通乘法为运算。事实上， 。一类类似的(也是非常重要的)例子可以如下得到: 设 是任何群， 是 的任意元素；定义一个“指数映射”
那么 很明显是群同态。元素 生成 当且仅当 是满射。
在Abel环境中，使用乘法而不是幂。一个具体的这种同构的实例是商函数
这里使用我们前面引入的概念，也就是 。这个函数是满射；因此 生成 。事实上，正如在§2.3 (Corollary 2.5)中观察到的， 生成 当且仅当 。
如果 , 则存在同构:
作出可交换图表
也就是说，
读者可以仔细验证这个函数是well-defined(练习4.1)。
如果 都整除 , 我们就有同时有从 的同态，因此它们的直积也具有同态。例如 , 则有同态:
或者用乘法记号， ，也就是:
注意，这个同构是双射，马上就会看到(§4.3), 这使之成为同态。特别的， 。
如果 ，还可以编造一个同构 : 例如，函数
很明显是一个群同构。和 不同，这个同构与同构 兼容不是非常好。
另一方面，是否存在非平凡群同构 呢? 注意到从 有 个集合函数；问题是任意这些函数(除了将所有发送给 的平凡同构外)是否保留运算呢? 我们已经知道同构必须将单位元发送给单位元(命题3.2)，这已经排除了除216个函数之外的所有函数(想想为什么？）；然而，明确地写出所有这些来看看是否有同态是不现实的。
在我们在下一小节讲述之前，读者应该考虑一下这一点。
群同态是保留群结构的集函数。因此，它们必须保留该理论的许多特征。命题3.2是这个原则的一个实例: 群同态必须保持恒等元和逆元。同样很清楚的是，如果 是群同态， 是有限群的元素，那么 也必须是有限群 的元素: 的确，如果对某个 , 那么
实际上，这个观察确定了一个更精确的陈述:
命题4.1: 设 是群同态，并设 是有限阶群的元素。那么 整除 。
证明: , 应用引理1.10就得到该命题。
例4.2: 不存在非平凡同态 。
因为 的每个元素的像都是有限阶，而在群 中有限阶的元素只有0。
不存在非平凡同态 。
因为 的元素的阶都能整除4，而在 中的元素的阶都能整除7， 因此每个 的阶都必须能同时整除4和7，这样就只能得到 , 也就是说 。
当然阶本身不被保留: 例如 具有无限阶，而 具有 阶。阶是通过同态保留的，我们稍后就会看到。
群同构 也是范畴 中的同构，也就是说，群同态存在逆
这个逆也是一个群同态。
从范畴 中得到启示，如果群的同态是同构的，那么它必须特别是底层集合之间的双射。幸运的是，反过来也成立:
命题4.3: 设 是群同态，那么 是群同构当且仅当它是双射。
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例4.4:
定义4.5: 两个群 如果它们在范畴 中§I.4.1意义中是同构的话，那么它们是同构的。根据命题4.3来说，，也就是如果存在双射群同态 。
我们已经再次观察了§I.4.1中，所有的同态是自动为等价关系的。 同态记作 。
群 的自同构是同态 ; 这些构成了群 , 通常记作 。
例4.6: §2.3中我们引入我们的循环群模版。同态的概念允许我们给出一个新的定义。
定义4.7: 群 为循环的，如果它与 同构或者与 同构( 为某个整数)。
因此 是循环群，阶为6， 因为 。更一般来说 如果 的话就是循环群。
读者很容易验证 阶群是循环群当且仅当它包含一个 阶元素。
循环群有一个有些令人惊讶的原因: 如果 为素数，那么群 是循环群。
当我们累积了更多机制(定理IV.6.10)，我们将有一个更一般的陈述，但是喜欢冒险的读者已经可以通过练习4.11来享受证明了。这是一个相对深刻的事实；请注意，例如 不是循环群(参见练习2.19和练习4.10)。
实际上， 对素数 是循环群意味着一定存在整数 使得 对每个非倍数都与 的幂共轭。这个事实的证明通常是不具构造性的，也就是说，它们不会显式地产生具有此属性的整数。循环群 以及所谓的隔圆多项式之间存在非常密切的联系；但这将不得不等待域理论的知识(参见练习VII.5.15)。
正如我们已经看到的，群 是同构的。那么 是否同构呢？
集合 之间有46,656个函数其中720个是双射，120个是保持单位元的双射。
欢迎读者列出所有120个，并尝试手动验证其中是否有任何一个是同态。但也许有一个更好的策略来回答这些问题。
范畴的同构对象在该范畴中基本上无法区分。因此，同构群共享每个群论结构。特别地，
命题4.8: 设 是同构
这一原则的其他实例将在没有明确提及的情况下进行假设。
例4.9: 。因为 群是交换群，而 非交换群。
另外一个原因: 中存在一个1阶元素、一个2阶元素、两个3阶元素，两个6阶元素；
而 情况却不同，一个1阶元素、三个2阶元素、两个3阶元素。
因此， 的120个双射没有一个保持单位元，因此不是群同态。
注: 两个有限交换群是同构的，当且仅当它们具有相同数量的任何给定阶的元素，但我们还不能证明这一点；读者将在适当的时候核实这一事实(练习IV.6.13）。交换性假设是必要的: 确实存在具有相同数量的任意给定阶元素的非同构有限群对(同一练习）。
前面我们已经提及 在某种意义下要比 更有优良一些，我们准备强调这个观察的另一个实例。
正如我们已经看到的， 对于任意 来说是pointed set。
而在 中，我们可以说更多: 对于任意 成群，实际上还是Abel群。
中的运算是继承自 :
如果 是两个群同态， 设 是下面定义的函数
那么 是群同构吗? 确实是，因为
注意第二行等号上面有个!, 使用了 可交换的事实。
使用这个运算， 明显成群:
实际上，注意到只要 是可交换的，同样可以得到这样的结论:
是群, 如果 可交换(即便 不可交换)。
实际上，如果 是交换群，那么 对于所有集合 来说都是群；我们在§5.4的时候再次回到这点上来。
本部分为个人增加的小节。
在群论中，自由群是一类特殊的群，形象地说，自由群就是群中元素除了群定义的约束条件外，没有其他的约束条件。
自由群有一个集合(称为生成元素)和这些生成元及其逆元素通过群运算(乘法)自由组合形成的群，单不允许有非平凡的关系(也就是除了由群运算定义的关系外，没有其他关系)。
假设一个集合 , 我们可以按照下面的步骤构建其自由群:
请注意，自由群是一个无限群，因为对于每个生成元来说，我们都可以生成无限多个不同的元素(通过重复乘法)。
记 为群范畴，设 为非空集合， 为一个群，它们之间存在一个单射 , 如果对任意群 , 以及任意集合映射 , 都存在唯一的一个群同态 , 使得
即
则称 是 上的一个自由群。
当 时，我们规定平凡群 是 上的一个自由群。
在熟悉了同态之后，我们现在可以考虑一个更奇特的群的例子。这种新结构背后的动机可以概括如下:
给定一个集合 ，其元素没有特殊的“群论”性质，我们想“以最有效的方式”构造一个包含 的群 。
例如, 如果 , 那么平凡群即可。
如果 , 那么平凡群不行了: 因为尽管一个平凡的群 本身就是一个单例，但其中的一个元素 必须是单位元，这当然是一个非常特殊的群论性质。而实际上，我们构造了一个无限循环群 ，其元素是“形式幂” ，我们用 的幂来标识 :
我们将所有这些幂函数视为不同的，并以显而易见的方式定义乘法，从而得到指数映射
这个映射是同态。实际上，所有的幂都是不同的 这一事实 是实现这一事实的正式方式，即 没有什么特别之处:
在群 中，除了不可避免的 之外， 不服从任何条件。
总结: 如果 是单例，那么我们可以把 看作是一个无限循环群。
任务是将上述启发式动机形式化，并为每个集合 构建一个群 。正如我们经常做的那样，我们现在将要求读者收起这本书，并尝试自己弄清楚这可能意味着什么以及如何实现。
希望读者现在已经对这个问题有了个人的看法，这里有一个标准的答案: 启发式动机是通过一个合适的普遍性质形式化的。给定一个集合 ，我们的群 必须“包含” ；因此，考虑对象为对 的范畴 是很自然的，其中 是一个群
这是一个从 的集函数，态射为
集函数的交换图为
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其中 需要是一个群同态。
读者会想起我们在示例I.3.7中考虑的范畴: 这里唯一的区别是，我们将一个范畴(即 )的对象和态射与另一个(相关)范畴(即 )的对象和态射混合在一起。我们考虑所有可能的函数 的事实是实现我们没有关于 的先验群论信息这一事实的一种方式: 我们不想对 的元素映射到群 后可能发生的事情施加任何限制；因此，我们同时考虑所有可能性。
集合 上的自由群 是范畴 中的(群组件)一个初始对象。这个选择实现了这样的事实， 应该以最有效的方式映射到 : 任何其他将 映射到群的方式都可以通过与群同态组合来从这个方式重建。
在普适性语言中，我们可以这样描述:
自由群: 是集合 上的自由群，如果存在集函数 , 使得，所有的群 和集函数 , 都存在唯一的群同态 , 使得下面的图表可交换:
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根据一般无意义(nonsense命题I.5.4），如果这个群存在，这个普适性质将 定义为同构。但是 存在吗？
在给出一个具体的 的构造之前，我们先校验一下，如果 是一个单类，那么 , 如命题 in §5.1所述。函数 将发送 。对任意群 ，给一个集函数 相当于选择一个元素 。那么，如果 , 则存在唯一同态 使得下图可交换
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因为这强制 , 同态条件强制 。也就是说， 必然是§4.1中考虑的指数映射 。因此，无限循环群确实满足单例上自由群的普遍性质。
