十二平均律理论的科学依据是什么？

十二平均律理论的科学依据是什么？

大概可以从这样一个过程来理解。

当然古人不了解频率这个概念，他们采用的是更具体的控制指标，如弦长缩短一半之后，弹出来的音听上去和原来的一样。后来人们把这种音程命名为八度。比如440hz，与880hz的音完美相融，人类听上去会认为是同一个音。

这个现象决定了，在选择一些音作为音乐元素的时候，可以在一个八度的范围内先确定一部分音，而在其他的八度只要将选好的音频率加倍或减半即可。

这种音程后来命名为纯五度。

注意，八度和纯五度这种“和谐”的感觉，是来自物理学、生理层面的原因，不是社会文化因素造成的。涉及到泛音列等知识。不是说一种文明觉得八度和五度和谐，而另一种文明觉得八度和五度不和谐。

操作方法就是，找一个基准音，然后将其频率频率乘以3/2来找下一个音（纯五度音），如果乘以3/2后超出了最初基准音的两倍，就再除以2将以调整回当前八度，这就是五度相生律生成的音阶。

世界上很多地方人们都独立发明了这种方法。中国古代用“三分损益法”，就是把确定的弦长乘以2/3或者乘以4/3得到下一个音。为什么这里分子分母颠倒了呢？因为频率与弦长成反比，古时难以测定频率，但是弦长很容易测定，因此五度相生的方法在工程上表现为“三分损益法”。

这种方法重复四次，就可以构成五声音阶。用中国古代的话说，就是“宫生徵、徵生商、商生羽、羽生角、角生宫”，按照音的高低之后重新整理就是“宫商角徵羽”。

虽然五声音阶已经很好用了，但这个过程一直重复下去，就会有重大发现。

这个过程很容易模拟，excel就可以。这里以440hz的音为基础，其上方的八度音为880hz。依次将音的频率乘以1.5。如果计算值大于880就除以2让其回到当前这个八度，结果如下：

如果第13个音与第1个音正好相等，那么就很完美了。但世界并不总能如人所愿，《吕氏春秋》就已经发现，上述五度相生的方法相生到第11次（即到十二律）后的“黄钟”时，“黄钟”不能回到原出发律上，不能周而复始。成为古代律制中一个重大问题。

简单分析一下就知道，相等是不可能的，即使持续地生成更多音，也不可能与最初的音相等。因为按照公式，假设初始音是A，那么之后生成的音一定是 的形式，因为3和2互质，且a和b都不等于零，所以生成的音不可能等于最初的A。

再回到刚才那个表，把前12个音按照高低排序一下，就可以得出一张新表。因为音程与频率的比值相关（回想一下刚才是用2倍和1.5倍的比值得出的关于八度和五度的概念），因此可以计算一下这十二个音排列之后，与前一个音的比值。可以看出，音之间的比值其实只有两种情况。分别等于 和 ，也就是分别是1.053和1.068，这两个数值也很接近。这表明，五度相生的方法生成的音，本来就与12等分相差不大。

虽然接近于等分，但毕竟不是等分，这意味着以不同的音来起始，得到的音程大小有可能不一致。还是以上表举例，以第一个音的大二度（表中第一个音到第三个音）频率为1.125倍，而以第八个音的大二度（表中第八个音到第10个音）为1.11倍。

应用现代数学的话，相当于1到2之间找出一个等比数列，可以先将2开12次方，然后相应次数的乘方即可。也就是，以A为第1个音，则第N个音的频率为A ，这样第N个音和第N+1个音之间的比值就是 ，这个数大致为1.059，介于上述五度相生的方法的两个比值数之间。

12平均律这个“12”大概就是这么来的了。本质的巧合之处就是代表五度的核心数字3/2（1.5），与 （1.498307）非常非常接近。

律制其实挺复杂的，涉及到数学和各种工程、听感上的取舍。还有纯律和经过调整的五度相生律等等东西的存在。

前面说过，五度相生的方法，首先找出来的就是这一组音。以CDEFGAB来命名这7个音的话，以C为起始音，则五度相生的方法依次找出的是C-G-D-A-E，这是五声音阶。E的下一个是B，B的下一个是F#。至于为什么自然大调里是F，我看到过的一种说法是因为从C向反方向找的话是F，F与C之间构成纯五度。如果把12个音找全，那么这原定七个音之间就是全全半全全全半。