Simone怎么通俗地描述非欧几何？
的有关信息介绍如下：
之前在手机上搞的图和公式太随意了，也没认真说明，汗。。。今天放假也恰好没事~~现在重新编辑下吧
———————————————————————————————————————————
什么是非欧几何呢？
首先要明白欧氏几何，我们在初中学过的平面几何其实就是欧氏几何，读过初中的相信都明白平行，全等，相似等等的相关知识，以及三角形内角和等于180°即π。
但在非欧几何中，我们之前的一些常识已经不适用了。比如：拿三角形内角和等于π来说，如果在球面上有个三角形，那么其内角和为多少？（这个证法早在1603年就被哈里奥特发现了）
图中，球被3条大圆所分割（球上的大圆也就是直线了，后面再仔细描述），球面被分割成了8块三角形，每个三角形与之对径的三角形全等，面积一样。球的面积为4πR^2，图中T，T1，T2，T3为所对应的三角形的面积，α，β，γ为所对应角的角度，所以可以导出：
———————————（1）
另外又可以看到T与T1可以构成一契形，面积为整个球面的 α / 2π，。可以得到：
———————————（2）
同样，也可以得到：
———————————（3）
———————————（4）
（2），（3），（4）式连加就有：
———————————（5）
然后再减去第（1）式子就有：
———————————（6）
可以看到，T肯定不为0，所以，并且T肯定为正值，所以一定有。
并且由（6）式还可以看出来，T的值与，，之和有关，所以在球面上，三角形面积越大其内角和也会越大，也就是说在球面上不存在相似三角形。
看吧，这些情况似乎与我们之前所学与所了解的完全不同呀，但这些在现实生活中却经常能遇到。
加深点印象，可以做一个欧氏几何与非欧几何存在差别的小实验，也更能感性的明白什么欧氏几何和非欧几何：
（a）拿一张平面纸，比如：A4纸或作业本纸，一定要没有弹性的纸。
（b）拿一个有曲度的物体，比如：苹果呀，篮球，橄榄球，碗之类。
（c）将平面纸贴到有曲度的物体上，保证所贴的平面能与曲面全部接触。
你会发现，如果要贴上去的话，平面纸一定会有褶皱，有褶皱就说明还有一部分的面没有贴在曲面上。平面纸上的几何关系就是我们通常学到的欧氏几何研究的，苹果，篮球，橄榄球之类的曲面几何关系就是非欧几何所关注的了。
还有一个更经常遇到的例子就是地图了，就像在地图上画一条直线（除地图正中的竖直线），沿这条线走，你将走远路。
将到地图这里，可以引出什么是直线了，看了上面的应该对非欧几何有一定通俗的了解了，下面的有兴趣的就看看吧。
———————————————————————————————————————————
什么是直线呢？（知道的跳过）
直线最基本的定义就是两点之间距离最短的线。在平面中（欧氏几何）我们很容易找到，直尺一拉就是了，非欧几何可没有直尺量。无论在欧氏几何和非欧几何，都有一个很简单的办法找到直线。先说一个例子，（下图是在百度上随便找的一张图）
蜘蛛要怎么走才能到蜻蜓的路程最短？
答案很简单，你也用没有弹性的线做一张这样的网，然后一手拿住蜘蛛的位置，一手拿住蜻蜓的位置，然后一拉，最紧的那条线就是最短的线了。
在非欧几何上也是可以用这个方法知道两点最短的路程，也就是直线了。
用一根不可拉伸的软线，在非欧几何的两点上用力拉，直到线紧绷了，那么这条路径就是直线了，有兴趣的可以自己拿跟绳子在篮球上做做实验，你会发现紧绷的线一定会在篮球的大圆上。
上面就是对直线比较通俗的描述了。
在真正算的时候肯定不能用直线呀，那怎么办，这里就要说到梯度了，直线就是一直沿着梯度方向走，比如关于一座山的具有等高线的地图，哪里才是“直线”呢（沿山走最短的距离），你只要沿着等高线最密的方向走就行，因为此方向为梯度方向。当然真的爬山不可能沿着这条线走，就算能走那也会累死呀。
———————————————————————————————————————————
曲率：
最后说一下曲率，就像在平面中，我们可以用曲率来区分直线和曲线，曲率为0的为直线，曲率不为0的就是曲线。
欧氏几何与非欧几何也用曲率来区分，这个曲率叫做高斯曲率，高斯曲率是这样得到的：
在曲面上取一点P，那么P点的曲率怎么得到呢？
在P点处取它的法向量,作一经过法向量的面，面绕着法向量旋转，与P点所在的曲面相交一曲线，得到各个不同相交曲线的曲率，取最大与最小的曲率相乘就是高斯曲率。图中
视图面1为P取得最小的相交曲率，视图面2为P取得最大的相交曲率。
那么高斯曲率公式为：
相信可以自己推导出球的高斯曲率为1/R^2。因为球的各个切面曲率都是1/R呀。
当你将一张纸卷起来的时候，这张纸依然是欧氏几何，因为你将纸卷起来，这张纸的最小切面曲率是0，所以高斯曲率也会为0，也就是说，你将纸卷起来，与将纸平展开来，它们是一样的，都是欧氏几何。
在往下就会有高斯曲率与盈角和面积的关系，不过觉得也没必要了，毕竟越到后面越难通俗了（对我来说~~~），嗯，就这样了。
